Прежде чем расставить знаки препинания, нужно сделать синтаксический разбор предложения. Сначала найдем главные члены предложения, а затем второстепенные.

Грамматическая основа: продемонстрировала - сказуемое, выставка - подлежащее.

Подробнее о главных членах предложения здесь.

Второстепенные члены предложения: выставка (какая?) первая - определение, выставка (кого?) передвижников - дополнение, выставка (какая?) открывшаяся в 1871 году - определение, выраженное причастным оборотом. Если причастный оборот стоит после определяемого слова, то он выделяется с двух сторон запятыми. В приведенном предложении определяемое слово (выставка) находится перед причастным оборотом (открывшаяся в 1871 году), следовательно, мы должны выделить причастный оборот запятыми (на месте цифр 1 и 2).

Далее: Продемонстрировала (как?) убедительно – обстоятельство, существование (где?) в живописи – обстоятельство, существование (чего?) направления – дополнение, направления (какого?) нового – определение, направления (какого?) складывавшегося на протяжении 60-х годов – определение, выраженное причастным оборотом. Если причастный оборот стоит перед определяемым словом, то он не выделяется запятыми. В приведенном предложении определяемое слово (направления) находится после причастного оборота (складывавшегося на протяжении 60-х годов), следовательно, мы не ставим запятые (на месте цифр 3 и 4).

Подробнее о второстепенных членах предложения здесь.

Правильный ответ - №2.